Tinjauan Teori
A. Bilangan
Ganjil dalam Matematika
1.
Definisi
Dalam
Matematika, suatu bilangan dapat dinyatakan sebagai bilangan genap atau
ganjil. Konsep ini dimulai dengan integer atau bilangan bulat yang dilambangkan
dengan “Z”. Bilangan genap adalah bilangan bulat yang dapat dibagi oleh dua
(terbagi oleh dua tanpa menghasilkan sisa ), bilangan ganjil adalah bilangan
yang tidak dapat di bagi oleh dua .
Definisi
formal bilangan ganjil adalah bilangan bulat dengan bentuk , Z, sedangkan
bilangan genap adalah bilangan bulat dengan bentuk, Z. Contoh bilangan genap
adalah -10, 14, -2, dan 8, contoh bilangan ganjil adalah -3, 1, 5, 17 dan -9.
Bilangan- bilangan seperti, atau 1,618033…, dan 3,141… bukanlah bilangan genap
maupun bilangan ganjil.
Himpunan
bilangan genap dan ganjil dapat dinyatakan sebagai berikut:
Bilangan
genap = 2Z = { | Z } = {…,-6,-4,-2,0,2,4,6,…}
Bilangan
ganjil = 2Z + 1 = { | Z } = {…,-5,-3,-1,1,3,5,…}
Ganjil
atau genapnya bilangan yang dinyatakan dalam sistem bilangan desimal tergantung
pada digit terakhirnya. Jika digit terakhirnya 1, 3, 5, 7 atau 9 maka bilangan
tersebut adalah ganjil, demikian juga dengan bilangan genap.
Bilangan
genap dapat juga dinyatakan sebagai bilangan bulat yang kongruen dengan 0 modulo
2, dan bilangan ganjil adalah bilangan bulat yang kongruen dengan 1 modulo
2.
2.
Operasi pada bilangan ganjil dan
genap
Penjumlahan:
Perkalian:
|
|
Pembuktian:
Misal,
bilangan ganjil ke-1 dinyatakan dengan 2p+1 dan bilngan ganjil ke-2 dinyatakan
dengan 2q+1, bilangan genap ke-1 dinyatakan dengan 2m dan bilangan genap ke-2
dinyatakan dengan 2n, dengan p, q, m, n Z
Bukti:
1.
Hasil jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan
genap
(2p+1)
+ (2q+1) = 2p + 2q + 2 = 2(p+q+1)
=
2k , k Z (karena Z adalah field)
2.
Hasil pengurangan dua buah bilangan ganjil adalah
bilangan genap
(2p+1)
– (2q+1) = 2p – 2q = 2 (p – q)
= 2k,
k Z (karena Z adalah field)
3.
Hasil pengurangan bilangan ganjil dengan bilangan
genap adalah bilangan ganjil
(2p+1)
– 2m = 2p – 2m + 1 = 2(p-m) + 1
= 2r
+ 1, r Z
4.
Hasil perkalian antara bilangan ganjil dengan bilangan
ganjil adalah bilangan ganjil
(2p+1)
(2q+1) = 4pq + 2q + 2p + 1 = 2(pq+p+q) + 1
= 2k
+ 1, k Z
5.
Hasil perkalian antara bilangan ganjil dengan bilangan
genap adalah bilangan genap
(2p+1)
x 2m = 4pm + 2m = 2(m+2pm)
= 2r,
r Z
6.
Hasil perkalian antara dua bilangan genap adalah bilangan
genap
(2m)
(2n) = 4mn = 2(2mn) = 2r, r Z
Ayat-ayat Al-quran dan Hadits yang
Berkaitan dengan Bilangan Ganjil
Ayat-ayat
- Al Fajr : 1-3
“Demi fajar, dan malam yang sepuluh,
dan yang genap dan yang ganjil”
Jika Allah SWT bersumpah dengan
sesuatu adalah untuk menunjukkan kemuliaan atau keagungan sesuatu tersebut
- Al Baqarah : 196
“Dan sempurnakanlah ibadah haji dan
‘umrah karena Allah. Jika kamu terkepung (terhalang oleh musuh atau karena
sakit), maka (sembelihlah) korbanyang mudah didapat, dan jangan kamu mencukur
kepalamu, sebelum korban sampai di tempat penyembelihannya. Jika ada di
antaramu yang sakit atau ada gangguan di kepalanya (lalu ia bercukur), maka
wajiblah atasnya berfid-yah, yaitu: berpuasa atau bersedekah atau berkorban.
Apabila kamu telah (merasa) aman, maka bagi siapa yang ingin mengerjakan ‘umrah
sebelum haji (di dalam bulan haji), (wajiblah ia menyembelih) korban yang mudah
didapat. Tetapi jika ia tidak menemukan (binatang korban atau tidak mampu),
maka wajib berpuasa tiga hari dalam masa haji dan tujuh hari (lagi) apabila
kamu telah pulang kembali. Itulah sepuluh (hari) yang sempurna. Demikian itu
(kewajiban membayar fidyah) bagi orang-orang yang keluarganya tidak berada (di
sekitar) Masjidil Haram (orang-orang yang bukan penduduk kota Mekah). Dan
bertakwalah kepada Allah dan ketahuilah bahwa Allah sangat keras siksaan-Nya”
Ayat ini menjelaskan tentang syariat
haji dan umroh salah satu amalan hajji adalah haji qiran. Bagi yang mengerjakan
haji qiran, di hari ke sepuluh (hari nahar)wajiblah ia berkurban, sebagai
syukur kepada Allah SWT sebab telah selesaibdengan selamat mengerjakan haji dan
umroh atau gantidengan puasa tiga hari selama haji dan tujuh hari selesai haji.
- Yusuf : 4
“(Ingatlah), ketika Yusuf berkata
kepada ayahnya: “Wahai ayahku, sesungguhnya aku bermimpi melihat sebelas
bintang, matahari dan bulan; kulihat semuanya sujud kepadaku.”
Ayat ini menjelaskan tentang mimpi
Nabi Yusuf. Beliau bermimpi melihat 11 bintang 1 matahari dan 1 bulan sujud
kepadanya, beliau menceritakan mimpi itu kepada ayahnya yaitu Nabi Ya’kub
setelah mendengar cerita anaknya, Nabi Ya’kub mendapat firasat bahwa Yusuf lah
yang akan menerima waris Nubuwwat dan Risalat (menjadi nabi dan rasus Allah),
karena arti mimpi tersebut 11 bintang adalah 11 saudara, matahari adalah ayah
dan bulan adalah ibu.
Hadits-hadits
- Abu Hurairah berkata: ”Rasulullah SAW bersabda, ‘ Dan Allah memiliki sembilan pulu sembilan nama seratus kurang satu, barang siapa menghitungnya (menghafal dan mentafakurinya) akan masuk surga. Dia itu witir (ganjil) dan menyukai yang ganjil’ ” (HR. Bukhary-Muslim)
- Aisyah ra. mengatakan : ” Rasulullah ShallAllahu ‘alaihi wa sallam beri’tikaf di sepuluh hari terkahir bulan Ramadhan dan beliau bersabda, yang artinya: ‘Carilah malam Lailatul Qadar di (malam ganjil) pada 10 hari terakhir bulan Romadhon’ “ (HR: Bukhari 4/225 dan Muslim 1169)
- “Sesungguhnya Allah itu witir (esa/ganjil) dan suka pada yang ganjil” (Hadits Hasan diriwayatkan oleh Abu Daud dan Turmudzi)
Keistimewaan Bilangan Ganjil
Ayat-ayat Allah ada yang tertulis
dalam kitab Al Quran dan ada pula yang tidak tertulis di dalamnya, yaitu yang
terbentang di seluruh jagat raya. Surat Ar Ra’du ayat 8 menjelaskan, bahwa
Allah menciptakan segala sesuatu dengan kadar ukuran yang telah ditetapkan. Dengan
kata lain, tidak ada ayat Allah, baik yang tertulis maupun yang terbentang itu
ada atau terjadi begitu saja, tanpa disengaja. Semuanya sudah direncanakan,
diperhitungkan, dan diatur oleh-Nya, bukan merupakan sesuatu yang kebetulan.
Apabila disengaja, tentu ada maksud
dan tujuannya. Maksud dan tujuan Allah membuat itu semua ada yang bisa
langsung dipahami oleh manusia namun ada juga yang memerlukan penafsiran. Saat
manusia melakukan penafsiran, bisa jadi makna sebenarnya dari ayat-ayat Allah
itu tersingkap, tetapi mungkin juga penafsiran itu tidak atau belum mencapai
makna sebenarnya. Namun yang pasti, manusia memang diperintahkan untuk terus
menelaah dan mengkaji ayat-ayat Allah.
Demikian juga dengan ayat-ayat Allah
yang berupa angka dan bilangan, baik yang terdapat di dalam Al Quran
ataupun yang ada di alam semesta ini. Planet yang beredar mengelilingi matahari
berjumlah 9, satu tahun terdiri atas 12 bulan, satu minggu ada 7 hari. Umat
Islam diperintahkan shalat wajib sehari semalam 5 kali, apabila berjamaah
pahalanya 27 derajat. Seusai shalat, kita disuruh berdzikir masing-masing 33
kali. Semua itu tentu ada maknanya. diantaranya sebagai berikut:
Keistimewaan Angka 19
Keistimewaan angka 19 dalam ilmu
matematik dikenal sebagai salah satu ‘Bilangan Prima’ yakni bilangan yang tak
habis dibagi dengan bilangan manapun kecuali dengan dirinya sendiri.
Keistimewaan tersebut melambangkan bahwa sifat-Nya yang serba MAHA tidak
dibagikan kepada siapapun juga kecuali bagi diri-Nya sendiri ( Q.S. Al Ikhlas
112: 3).
Angka 19 terdiri dari angka 1 dan 9,
dimana angka 1 merupakan bilangan pokok pertama dan angka 9 merupakan bilangan
pokok terakhir dalam sistem perhitungan kita. Keistimewaan tersebut menunjukkan
sifat Allah yakni ‘Maha Awal dan Maha Akhir’ (Q.S. Al Hadid 57: 3).
Angka 1 melambangkan sifat-Nya yang
‘Maha Esa’ (surat ke-112 ayat 1), sedangkan angka 9 sebagai bilangan pokok
terbesar melambangkan salah satu sifatnya yang ke-38, Al Kabiir yang artinya
yaitu ‘Maha Besar’.
Fenomena 165
Bilangan 165 ditafsirkan memiliki
arti yang khusus. Angka 1 berarti Tuhan, tertuang dalam konsep Ihsan. 6 berarti
Rukun Iman dan 5 merupakan Rukun Islam. Angka 165 itu ternyata juga muncul
ketika kita melaksanakan dzikir di setiap ba’da shalat fardhu. Nabi
memerintahkan kita untuk berdzikir dengan mengucap Subhanallaah sebanyak
33 kali, Alhamdulillah 33 kali, dan Allaahu Akbar juga 33 kali.
Dalam hadits sahih riwayat Muslim dari Abu Hurairah juga dari Qutaibah,
Rasul bersabda, “Sukakah kamu kuajarkan suatu amal yang dapat memperoleh
pahala orang-orang dahulu serta mendahului orang-orang sesudah kamu dan tidak
akan ada orang yang lebih mulia dari kamu melainkan orang yang mengamalkan
seperti amalmu, sabda Rasul: Hendaklah kamu tasbih, takbir dan tahmid masing-masing
33 kali setiap selesai shalat.”
Apabila setiap selesai shalat
masing-masing ucapan dzikir itu dilafalkan sebanyak 33 kali, maka dalam sehari
semalam atau lima kali shalat fardhu maka kita mengucapkan dzikir-dzikir itu
masing-masing sebanyak 33 x 5 = 165. Jadi, ditafsirkan bahwa dzikir-dzikir
ba’da shalat merupakan pengokoh Islam, Iman, dan Ihsan kita. Dengan konsisten
mengucapkan dzikir-dzikir itu secara ikhlas dan khusyu, berarti kita menjaga
dan memperkuat ke-Islam-an, ke-Iman-an, dan sikap Ihsan kita.
Selain itu, angka 165 juga muncul
dalam fenomena lima bilangan ganjil pertama. Di dalam hadits disebutkan bahwa
Allah menyukai yang ganjil. Apabila kita menjumlahkan lima bilangan ganjil
pertama yang dipangkat dua maka akan kita dapatkan hasilnya sebagai berikut:
= 1 + 9 + 25 + 49 + 81 = 165
Juga apabila kita perhatikan surat
ke-1 dalam Al Quran, yaitu Al Fatihah : 5, “Hanya kepada Engkaulah kami
menyembah dan hanya kepada Engkaulah kami memohon pertolongan”. Tafsirannya,
menyembah dan memohon pertolongan tertuang dalam rurkun Islam. Sedangkan ayat
ke-6 nya berarti “Tunjukkanlah kami ke jalan yang lurus”, tafsirannya,
untuk menempuh jalan yang lurus harus berbekal Rukun Iman.
Pengulangan 7
“Dan sesungguhnya Kami telah berikan
kepadamu tujuh ayat yang dibaca berulang-ulang dan Al Quran yang agung.”
(Q.S. Al Hijr 15: 87). Sebagian besar ulama menafsirkan bahwa tujuh ayat
yang diulang-ulang itu adalahsurat Al Fatihah. Dan faktanya memang benar, tujuh
ayat dalam Surat Al Fatihah itu memang diulang-ulang oleh seluruh umat Islam
ketika melakukan shalat.
Namun, apabila kita perhatikan
fenomena lainnya, akan kita temukan fenomena pengulangan 7 lainnya. “Dia-lah
Allah, yang menjadikan segala yang ada di bumi untuk kamu dan Dia berkehendak
menuju langit, lalu dijadikan-Nya tujuh langit. Dan Dia Maha Mengetahui segala
sesuatu.” (Q.S. Al Baqarah 2: 29). Di dalam ayat tersebut, Allah
menyebut tentang adanya tujuh langit. Dan ternyata ayat yang membicarakan
tentang tujuh langit di dalam Al Quran jumlahnya juga tujuh ayat. Yaitu dalam
surat Al Baqarah 2: 29, Al Mukminuun 23: 17, Fushshilat 41: 12, Ath-Thalaq 65:
12, Al Mulk 67: 3, Nuh 71: 15, dan An Naba’ 78: 12.
Logika Perkalian dalam Matematika
antara Bilangan Ganjil dan Genap
Telah kita buktikan di atas mengenai
perkalian bilanganganji dan bilangan bulat. Maka jika boleh dianalogikan
bilangan ganjil sebagai kebenaran dan bilangan genap sebagai kebatilan akan
menghasilkan demikian:
a)
kebenaran x kebenaran = kebenaran (kebenaran yang sejati yang berasal dari Allah
SWT).
b)
Kebatilan x kebatilan = kebatilan (jalan kesesatan, yang datang dari
iblis/syaitan )
c)
Kebatilan x kebenaran = kebatilan (kebenaran tidak boleh dicampuradukkan dengan
kebatilan)
Dari penjelasan di atas dapat kita
tarik beberapa kesimpulan bahwa kebenaran itu telah nyata datangnya dari Allah
SWT“Kebenaran itu adalah dari Tuhanmu, sebab itu jangan sekali-kali kamu
termasuk orang-orang yang ragu.” (QS. Al Baqarah 2:147) Sedangkan kebatilan
itu datangnya dari syaitan yang terkutuk“Iblis menjawab: “Karena Engkau
telah menghukum saya tersesat, saya benar-benar akan (menghalang-halangi)
mereka dari jalan Engkau yang lurus” (QS. Al ‘Araaf 7:16). Dan antara
kebenaran da kebatilan tidak bisa dicampur aduk. “Dan janganlah kamu campur
adukkan yang hak dengan yang bathil dan janganlah kamu sembunyikan yang hak itu],
sedang kamu mengetahui.” (QS. Al Baqarah 2:42).
Kita sebagai manusia, makhluk yang
diberi akal sehat diberikan kesempatan oleh Allah SWT untuk memilih salah satu
jalan dari kedua jalan tersebut.“Dan jiwa serta penyempurnaannya
(ciptaannya), maka Allah mengilhamkan kepada jiwa itu (jalan) kefasikan dan
ketakwaannya. sesungguhnya beruntunglah orang yang mensucikan jiwa itu, dan
sesungguhnya merugilah orang yang mengotorinya” (QS. Asy Syams 91:7-10).